数学でベクトルという概念があり、その基本的な性質の一つが、「直交する2つのベクトルの内積は0になる」というものです。わかりやすく言うと、原点*1から、座標*2を結んだ線と、原点*3から、座標*4を結んだ線とが直交する、つまり90度で交わる場合、(x \cdot u + y \cdot v)は必ずゼロになるということです。
直交するベクトルの内積が0になるというのは、3次元空間でも成り立ち、３次元の座標*5と*6とがあったときに、原点*7とこれらを結ぶ２つの線が直交する場合は、( x \cdot u + y \cdot v + z \cdot w =0)が成立します。
ユニバーサルジョイントの十字型の部品の２つの軸は直交していますので、２つの基準点の座標についても、上記の性質が成り立ちます。
となり、両辺を(r2 \cdot cos(\varphi) \cdot sin(\theta)\cdot cos(\alpha) )で割ると、
(\frac{sin(\varphi)}{cos(\varphi)} = - \frac{cos(\theta)}{sin(\theta) \cdot cos(\alpha)}=-\frac{1}{\frac{sin(\theta)}{cos(\theta)}}\cdot\frac{1}{cos(\alpha)})
( \frac{sin(\theta)}{cos(\theta)}=tan(\theta) ) でしたから、この式は
(tan(\varphi) = - \frac{1}{tan(\theta)} \cdot \frac{1}{cos(\alpha)})
となります。(tan)の周期性の性質を利用してもう少し変形すると、
(tan(\varphi) = tan(\theta-\frac{\pi}{2})\cdot \frac{1}{cos(\alpha)})
という式が得られます。(\theta =\frac{\pi}{2})の時、(\varphi=0)となるのでした。従って、この式が基準点の位置関係を的確に表現しています。
説明がこなれていないですが、この式からわかることを書いてみたいと思います。
(\alpha > 0 )を想定していますので、(cos(\alpha) < 1)となります。従って、(tan(\varphi))は、(tan(\theta-\frac{\pi}{2}))より大きな値になります。このことは、(\varphi)は、(\theta-\frac{\pi}{2})よりも角度が大きい、つまり、伝達面の基準点の回転角は、駆動面の基準点の基準点の回転角よりも進んでいる、ということを示しています。
(\frac{1}{cos(\alpha)})の影響を受けない場合があり、それは両辺の(tan)が(0)か(\infty)となる場合で、その組み合わせは
(\theta=\frac{\pi}{2}, \varphi=0)
(\theta=\pi, \varphi=\frac{\pi}{2})
(\theta=-\frac{\pi}{2}, \varphi=\pi)
(\theta=0, \varphi=-\frac{\pi}{2})
の４つです。これらが成立するのは、基準点のいずれかが、(x)軸上にあるときで、(\frac{\pi}{2})つまり、90度ごとに駆動面と伝達面との基準点の回転角が一致するものの、それ以外は、伝達面の基準点の回転角の方が大きくなるということで、このために不等速性が発生するということが言えると思います。
さて、上記の式を(\varphi)について解くと、
(\varphi = tan^{-1}(\frac{tan(\theta-\frac{\pi}{2})}{cos(\alpha)}))
となります。この計算式を使えば、駆動面の基準点の角度が与えられたときに、伝達面の基準点の角度を計算することができます。
*1:0,0
*2:x,y
*3:0,0
*4:u,v
*5:x,y,z
*6:u,v,w
*7:0,0,0
*8:x,y,z)=(r\cdot cos(\theta), r\cdot sin(\theta), 0
*9:u,v,w) = (r\cdot cos(\varphi), r\cdot sin(\varphi)\cdot cos(\alpha), r\cdot sin(\varphi)\cdot sin(\alpha)))
でしたので、
(r \cdot cos(\theta) \cdot r \cdot cos(\varphi) + r \cdot sin(\theta) \cdot r \cdot sin(\varphi) \cdot cos(\alpha) + 0\cdot r \cdot sin(\varphi)\cdot sin(\alpha) = 0)
となります。式を整理すると、
(r ^2 \cdot sin(\theta) \cdot sin(\varphi) \cdot cos(\alpha) = - r ^2 \cdot cos(\theta) \cdot cos(\varphi
